Urodził się 01.11.1911 r. w Trzcianie pow. Mielec woj. rzeszowskie. Rodzicami byli Andrzej i Agnieszka z domu Wilk. Po zdaniu matury w gimnazjum mieleckim wstąpił 14.08.1934 r. do Towarzystwa Chrystusowego w Potulicach. Nowicjat rozpoczął 28.09.1934 r. w Potulicach, tam też złożył pierwszą profesję 29.09.1935 r., drugą 29.09.1936 roku. Profesję dozgonną złożył w Potulicach dnia 29.09.1938 roku.
W Gnieźnie odbył studia filozoficzne od 01.10.1935 r. do 06.1937 roku. Dalszą naukę przerwała II wojna światowa. Ukończył studia dopiero w lipcu 1940 r. w Krakowie. W Krakowie również przyjął święcenia kapłańskie z rąk ks. bp. Stanisława Rosponda w dniu 21.07.1940 roku. Następnie przebywał jako rezydent w diecezjach tarnowskiej i kieleckiej, jedynie w latach 1942-1944 pełnił obowiązki wikariusza.
Po wojnie przybył do Poznania i od marca 1945 do 01.09.1946 r. był wikariuszem w kościele Św. Anny. Z kolei został przeniesiony w szczecińskie, gdzie pracował jako wikariusz w Szczecinie-Dąbie (01.09.1947–01.09.1951), potem jako administrator w Chociwlu (01.09.1951-03.1957) i w Tetyniu, gdzie duszpasterzował aż do śmierci.
Ks. Franciszek Ćwięka siedział w więzieniu za „przestępstwo szczególnie niebezpieczne w okresie odbudowy Państwa” (26.01.1950) i za nie prowadzenie ksiąg inwentarzowych został skazany na zapłacenie wysokiej grzywny (19.10.1966). Zmarł po ciężkiej chorobie w miejscowości rodzinnej 17.05.1968 r. i został pochowany w Trzcianie.